RÈN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC

Nguồn: 
Thầy Phan Duy Nghĩa
(Phòng GDTH, Sở GD-ĐT Hà Tĩnh)
Cảm ơn c Thanh Lê :)

Việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều khi không phải là quá khó, nhưng thực ra sau mỗi bài toán có biết bao điều lí thú. Nếu chúng ta không biết khơi dậy ở học sinh óc tò mò, sự tìm tòi khám phá những gì ẩn sau mỗi bài toán mà chỉ giải xong bài toán là kết thúc thì việc dạy học trở nên nhạt nhẽo. Chúng ta hãy cùng đến với bài toán sau.

Bài toán gốc. “Một người đi từ A đến B với vận tốc 25km/giờ. Sau 30 phút người thứ hai cũng đi từ A về B với vận tốc 30km/giờ và đuổi kịp người thứ nhất tại B. Tính quãng đường AB”.

I. Khai thác các cách giải khác nhau của bài toán.

Cách 1. Đổi 30 phút = 0,5 giờ

Trong 0,5 giờ người thứ nhất đi được là:25 x 0,5 = 12,5 (km).

Thời gian của người thứ hai đi để đuổi kịp người thứ nhất tại B là:12,5 : (30 – 25) = 2,5 (giờ)

Quãng đường AB dài là:30 x 2,5 = 75 (km).

Cách 2. Giả sử người thứ hai cùng khởi hành và đi với thời gian bằng thời gian của người thứ nhất thì khi đó người thứ hai đi vượt qua B một đoạn đường dài là :30 x 0,5 = 15 (km)

Vận tốc của người thứ hai hơn vận tốc của người thứ nhất là:30 – 25 = 5 (km/giờ)

Thời gian người thứ nhất đi quãng đường AB là: 15 : 5 = 3 (giờ)

Quãng đường AB dài là:25 x 3 = 75 (km).

Cách 3. Giả sử người thứ nhất cùng khởi hành và đi với thời gian bằng thời gian của người thứ hai thì khi đó người thứ hai đến B rồi người thứ nhất còn cách B một đoạn đường dài là: 0,5 x 25 = 12,5 (km).

Sở dĩ có khoảng cách này là vì vận tốc của người thứ nhất kém vận tốc của người thứ hai là: 30 – 25 = 5 (km).

Thời gian người thứ hai đi từ A đến B là: 12,5 : 5 = 2,5 (giờ).

Quãng đường AB dài là: 30 x 2,5 = 75 (km).

Cách 4. Trên cùng một quãng đường thì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian. Tỉ số vận tốc của người thứ nhất và vận tốc của người thứ hai là: 25 : 30 = 5/6.

Do đó tỉ số thời gian của người thứ nhất và thời gian của người thứ hai là 6/5.

Vì hiệu thời gian của hai người là 0,5 giờ nên thời gian của người thứ nhất đi từ A đến B là:

0,5 : (6 – 5) x 6 = 3 (giờ)

Quãng đường AB dài là: 25 x 3 = 75 (km).

Cách 5. Cứ mỗi km người thứ nhất đi hết số phút là:

60 : 25 = 2,4 (phút).

Cứ mỗi km người thứ hai đi hết số phút là:

60 : 30 = 2 (phút).

Do đó, cứ mỗi km người thứ nhất đi nhiều hơn người thứ hai số phút là:

2,4 – 2 = 0,4 (phút).

Quãng đường AB dài là:

30 : 0,4 = 75 (km).

Cách 6. Cứ mỗi km người thứ nhất đi hết thời gian là: 1 : 25 = 1/25 (giờ).

Cứ mỗi km người thứ hai đi hết thời gian là: 1 : 30 = 1/30 (giờ).

Do đó, cứ mỗi km người thứ nhất đi nhiều hơn người thứ hai một thời gian là : 1/25 - 1/30 = 1/150 (giờ).

Quãng đường AB dài là: 0,5 : 1/150 = 75 (km).

Cách 7. Vì quãng đường AB (s = v x t) không đổi, nên ta có thể xem vận tốc (v) là chiều dài của một hình chữ nhật và thời gian (t) là chiều rộng của hình chữ nhật đó.

Vẽ sơ đồ ta thấy: Vì quãng đường không đổi hay diện tích hình chữ nhật không đổi nên ta có :

S1= S2hay 5 x t2= 0,5 x 25.

Suy ra: t2= 0,5 x 25 : 5 = 2,5 (giờ).

Quãng đường AB dài là: 30 x 2,5 = 75 (km).

II. Khai thác và phát triển bài toán gốc thành các bài toán khác.

1. Hướng khai thác thứ nhất : Bài toán cho biết hiệu thời gian là 30 phút. Nếu ta thay điều kiện hiệu thời gian này bằng điều kiện tương đương thì ta có các bài toán mới sau.

Bài toán 1. Một người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/giờ. Người thứ hai cũng đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ. Biết rằng người thứ hai đi sau người thứ nhất 20 phút và đến B trước người thứ nhất là 10 phút. Tính quãng đường AB.

Bài toán 2. Một người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/giờ. Người thứ hai cũng đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ. Biết rằng người thứ nhất đi trước người thứ hai 20 phút và đến B sau người thứ hai là 10 phút. Tính quãng đường AB.

Bài toán 3. Một người đi từ A đến B trong một thời gian đã định theo kế hoạch. Nếu người đó cho xe chạy với vận tốc 25 km/giờ thì sẽ đến B muộn 17 phút, còn nếu cho xe chạy với vận tốc 30 km/giờ thì sẽ đến B sớm 13 phút so với thời gian đã định. Tính quãng đường AB.

Bài toán 4. Ba người cùng khởi hành một lúc từ A để đến B, vận tốc người thứ nhất là 25 km/giờ, vận tốc người thứ hai là 30 km/giờ. Người thứ ba đến B trước người thứ nhất là 16 phút và sau người thứ hai là 14 phút. Tính quãng đường AB.

2. Hướng khai thác thứ hai : Xem chuyển động của hai người là chuyển động của một người có vận tốc thay đổi trên một phần của quãng đường thì ta có các bài toán khác sau.

Bài toán 5. Một người dự định đi từ A đến B theo một thời gian nhất định. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 25 km/giờ. Sau khi đi được 75 km thì người đó đi tiếp trên quãng đường còn lại với vận tốc 30 km/giờ nên đến B sớm hơn thời gian dự định là 30 phút. Tính quãng đường AB.

Bài toán 6. Một người dự định đi từ A đến B theo một thời gian nhất định. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 30 km/giờ. Sau khi đi được 75 km thì người đó đi tiếp trên quãng đường còn lại với vận tốc 25 km/giờ nên đến B muộn hơn thời gian dự định là 30 phút. Tính quãng đường AB.

Bài toán 7. Một người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/giờ và dự định đến B lúc 10 giờ 30 phút. Đi được một nửa quãng đường AB thì người đó đi tiếp đến B với vận tốc 30 km/giờ nên đến B vào lúc 10 giờ cùng ngày. Tính quãng đường AB.

Bài toán 8. Một người đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ và dự định đến B lúc 10 giờ 30 phút. Đi được một nửa quãng đường AB thì người đó đi tiếp đến B với vận tốc 25 km/giờ nên đến B vào lúc 11 giờ cùng ngày. Tính quãng đường AB.

Bài toán 9. Một người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/giờ. Đi được quãng đường AB thì người đó dừng lại nghỉ 30 phút nên để đến B đúng hẹn, người đó đi tiếp trên quãng đường còn lại với vận tốc 30 km/giờ. Tính quãng đường AB.

Bài toán 10. Một người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/giờ. Lúc về, sau khi đi được quãng đường với vận tốc cũ, người đó dừng lại nghỉ 30 phút. Muốn thời gian về bằng thời gian đi, người đó phải đi tiếp trên quãng đường còn lại với vận tốc 30 km/giờ. Tính quãng đường AB.

3. Hướng khai thác thứ ba : a) Từ cách giải thứ 2 của bài toán gốc, ta thấy nếu người thứ hai đi thêm 30 phút nữa thì quãng đường tăng thêm là 15 km và khi đó thời gian đi của hai người bằng nhau từ đó ta phát triển bài toán đã cho thành bài toán khác như sau.

Bài toán 11. Một người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/giờ, rồi đi tiếp từ B đến D với vận tốc 30 km/giờ. Quãng đường BD dài hơn quãng đường AB là 15 km. Thời gian đi AB bằng thời gian đi BD. Tính quãng đường AB.

Gợi ý : Vẽ sơ đồ minh hoạ.

Gọi C là điểm trên quãng đường BD sao cho AB = BC thì CD = 15 km.

Thời gian người đó đi quãng đường CD là:

15 : 30 = 0,5 (giờ)

Vậy thời gian người đó đi quãng đường AB nhiều hơn thời gian người đó đi trên quãng đường BC là 0,5 giờ. Đến đây ta giải tiếp như bài toán 6.

b) Nếu người thứ hai đi thêm 20 phút nữa thì quãng đường tăng thêm là 30 x 1/3 = 10 (km). Ta có bài toán khó hơn như sau.

Bài toán 12. Một người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/giờ, rồi đi tiếp từ B đến D với vận tốc 30 km/giờ. Quãng đường BD dài hơn quãng đường AB là 10 km. Thời gian đi AB nhiều hơn thời gian đi BD là 10 phút. Tính quãng đường AB.

c) Từ cách giải thứ 3 của bài toán gốc, ta thấy nếu người thứ nhất cùng khởi hành và đi với thời gian bằng thời gian của người thứ hai thì khi đó người thứ hai đến B rồi người thứ nhất còn cách B một đoạn đường dài là : 0,5 x 25 = 12,5 (km). Khai thác điều này ta có thêm bài toán sau.

Bài toán 13. Một người đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ, rồi đi tiếp từ B đến C với vận tốc 25 km/giờ. Quãng đường AB dài hơn quãng đường BC là 12,5 km. Thời gian đi AB bằng thời gian đi BC. Tính quãng đường AB.

4. Hướng khai thác thứ tư : Diễn đạt điều kiện tỉ số thời gian thông qua tỉ số vận tốc dưới dạng khác, ta có các bài toán mới khó hơn chút xíu như sau.

Bài toán 14. Một người đi từ A đến B, sau khi đã đi được một nửa quãng đường AB, người đó đã tăng vận tốc thêm 0,2 vận tốc cũ nên đã đến B sớm hơn thời gian dự định là 0,5 giờ. Tính thời gian người đó đi quãng đường AB.

Bài toán 15. Hai người cùng đi từ A về một phía, người thứ nhất khởi hành lúc 7giờ, người thứ hai khởi hành lúc 7 giờ 30 phút. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ, biết rằng quãng đường người thứ nhất đi trong 30 phút bằng quãng đường người thứ hai đi trong 25 phút ?

5. Hướng khai thác thứ năm : a) Ở bài toán gốc, từ tỉ số vận tốc ta suy ra được tỉ số thời gian ; ngược lại nếu cho biết tỉ số thời gian ta suy ra được tỉ số vận tốc. Suy nghĩ đó giúp ta có thêm bài toán sau.

Bài toán 16. Một người dự định đi từ A đến B hết 3 giờ. Nếu người đó tăng vận tốc thêm 5 km/giờ thì đi từ A đến B chỉ mất 2,5 giờ. Tính quãng đường AB.

b) Cùng đi một thời gian (thời gian không đổi) thì vận tốc và quãng đường đi được là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Khai thác tính chất này ta có bài toán sau.

Bài toán 17. Hai người cùng khởi hành một lúc, người thứ nhất đi từ A đến B hết 3 giờ, người thứ hai đi từ B về A hết 2,5 giờ. Đến nơi gặp nhau, quãng đường người thứ hai đã đi dài hơn quãng đường người thứ nhất đã đi là 10 km. Tính quãng đường mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau.

6. Hướng khai thác thứ sáu : Chúng ta biết rằng trong chương trình toán tiểu học có nhiều bài toán tương tự toán chuyển động đều. Chẳng hạn như bài toán về công việc liên quan tới ba đại lượng : năng suất (số sản phẩm làm được trong một đơn vị thời gian), thời gian và số sản phẩm làm được. Trong đó đại lượng “năng suất” tương tự đại lượng “vận tốc”, đại lượng “số sản phẩm làm được” tương tự đại lượng “độ dài quãng đường đi được”. Khai thác điều này, ta có thêm các bài toán khác như sau.

Bài toán 18. Người thợ thứ nhất sơn mỗi giờ được 25 cửa sổ, người thợ thứ hai sơn mỗi giờ được 30 cửa sổ. Người thợ thứ hai nghỉ ốm mất 3 ngày đầu. Hỏi từ khi đi làm trở lại thì sau bao nhiêu ngày lao động số cửa được sơn của hai người là như nhau ? Biết mỗi ngày làm việc 10 giờ.

Bài toán 19. Một bể có hai vòi nước chảy vào : Vòi thứ nhất mỗi phút chảy được 25 lít, vòi thứ hai mỗi phút chảy được 30 lít. Lúc đầu người ta mở vòi thứ nhất cho chảy vào bể đến khi bể chứa được một nửa thì khoá vòi thứ nhất và mở vòi thứ hai cho chảy đến khi bể đầy. Biết thời gian vòi thứ nhất chảy nhiều hơn vòi thứ hai chảy là 30 phút. Hỏi khi bể đầy thì có bao nhiêu lít nước ?

Bài toán 20. Bác An mua hai loại vở : loại I giá 3000 đồng/quyển, loại II giá 2500 đồng/quyển. Biết số vở loại I ít hơn số vở loại II là 30 quyển và số tiền mua mỗi loại vở bằng nhau. Tính số tiền bác An đã mua vở

Đứng trước một bài toán các em học sinh thường có những hướng suy nghĩ khác nhau nhiều khi khá độc đáo và sáng tạo. Việc tìm các cách giả khác nhau của một bài toán gắn liền với việc nhìn một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau, mở đường cho sự sáng tạo phong phú.

Chúng ta đã tìm được 7 cách giải khác nhau cho bài toán gốc, mỗi cách giải đều vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt. Điều đó có ý nghĩa quan trọng trong việc giúp học sinh vận dụng linh hoạt và sáng tạo kiến thức đã học để giải toán. Từ một bài toán cơ bản, chúng ta đã khai thác và phát triển thành nhiều bài toán mới hấp dẫn hơn. Với cách học toán như vậy không những giúp học sinh hiểu sâu hơn bản chất của bài toán mà còn tạo cho các em phong cách học tập chủ động và sáng tạo.

Việc xét các bài toán tương tự toán chuyển động đều chính là giúp các em học sinh nắm được bản chất của các lời giải khi gặp các đại lượng có mối quan hệ tương tự nhau. Khi đó cái “vỏ ngoài” về mặt hình thức sẽ không làm các em bị lúng túng nữa.

Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, G.Polya cho rằng : “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta”. Vì vậy, trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán, việc tìm hiểu xuất xứ của chúng sẽ giúp chúng ta nảy sinh ra những ý chói lọi, đôi lúc còn tìm được đúng chìa khoá để giải các bài toán đó. Thật vậy, 20 bài toán trên đều có nguồn gốc từ bài toán gốc nếu để riêng lẻ